Este un grafic al funcției de derivat

Bine ai venit! Încercările de a se apropia de calitatea examen de formare sistematică și persistența în măcinarea știință granit. La sfârșitul postului are o provocare competitivă, să fie primul! Într-unul dintre articolele din această coloană avem în vedere problema. în care a fost dat graficul funcției, și pus în scenă diverse extreme aspecte legate sunt în creștere intervale (descendente), și altele.

În acest articol considerăm sarcinile incluse în examenul la matematică, care este o reprezentare grafică a derivatei funcției, iar următoarele întrebări sunt reprezentate:

1. La un moment dat o funcție predeterminată a segmentului are cea mai mare (mai mic sau) valoare.

2. Găsiți numărul de puncte de maxim (sau minim) a unei funcții aparținând unui anumit segment.

3. Găsiți numărul de puncte de extremum a unei funcții aparținând unui anumit segment.

4. Găsiți punctul de extremum al unei funcții aparținând unui anumit segment.

5. Găsiți intervalele de creștere (sau descreștere) funcția de răspuns pentru a specifica valoarea de puncte Lattice incluse în aceste intervale.

6. Găsiți intervalele de creștere (sau descreștere) funcție. Ca răspuns, specificați lungimea cea mai lungă dintre aceste intervale.

7. Găsiți numărul de puncte la care tangenta la graficul de linii paralele de forma y = kx + b, sau coincide cu ea.

8. Găsiți abscisa punctul în care tangenta la graficul de axa x este paralelă sau coincide cu ea.

Poate fi alte probleme, dar acestea nu vor provoca probleme dacă ați înțeles semnificația geometrică a proprietăților derivate și derivate pentru studiul funcțiilor (referințele sunt prezentate în articol, care a furnizat informațiile necesare deciziei, recomand să repet).

Rezumat (pe scurt):

1. Derivatul la intervale crescătoare este un semn pozitiv.

În cazul în care derivatul de la un anumit punct într-un anumit interval este pozitiv, atunci graficul functiei in acest interval creste.

2. La intervale de scădere a derivatului este negativ.

În cazul în care derivatul de la un anumit punct într-un anumit interval este negativ, atunci graficul funcției pe intervalul scade.

3. Derivat de la punctul x este egal cu panta tangentei la graficul funcției în acel punct.

4. La derivatul punctele extremum (maxim-minim) a funcției este zero. Tangenta la graficul funcției în acest punct este paralelă cu axa boului.

Este necesar să se înțeleagă în mod clar și amintiți-vă.

Mulți grafic al derivatului „confuz.“ Unii l ia din greșeală pentru un grafic al funcției. Prin urmare, în astfel de clădiri, unde puteți vedea, este un grafic care accentuează imediat atenția cu condiția ca programul dat funcției sau grafic al funcției derivată?

În cazul în care acest grafic al funcției de derivat, apoi să-l trateze ca o „reflectare“ a funcției, care pur și simplu vă oferă informații despre această funcție.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-2, 21).

Răspunsuri la următoarele întrebări:

1. La un moment dat în intervalul [7, 15] funcția f (x) are valoarea cea mai mare.

La un derivat interval predeterminat este negativ, atunci funcția în acest interval scade (scade de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, valoarea maximă este atinsă la marginea din stânga a segmentului, adică. E. La punctul 7.

2. La un moment dat, în intervalul [3, 6], funcția f (x) are cea mai mică valoare.

Conform acestui program derivat putem spune următoarele. La un derivat anumit segment al funcției este pozitiv, aceasta înseamnă funcția pe acest segment crește (crește de la limita stângă a intervalului la dreapta). Astfel, cea mai mică valoare este atinsă la marginea din stânga a segmentului, adică la x = 3.

3. Găsiți numărul de puncte al funcției maxime f (x). în intervalul [0, 20].

puncte maxime corespund punctelor de schimbare semn al derivatului de la pozitiv la negativ. Luați în considerare în cazul în care, astfel, schimbarea semnului.

Pe segmentul (3, 6), derivatul este pozitiv, pe segmentul (6; 16) este negativ.

Pe segmentul (16; 18), derivatul este pozitiv pe un segment (18, 20) este negativ.

Astfel, într-un anumit interval [0, 20], funcția are două puncte de maxim x = 6 și x = 18.

4. Găsiți numărul de puncte minime ale funcției f (x). în intervalul de [0; 4].

puncte minime corespund semnului punctului de schimbare a derivatului de la negativ la pozitiv. Avem in intervalul (0, 3), derivatul este negativ, intervalul (3, 4) este pozitiv.

Astfel, în intervalul [0, 4], funcția are un singur punct de minim x = 3.

* Fii atent înregistrările de răspuns - numărul de puncte este înregistrat, mai degrabă decât valoarea x, o astfel de eroare poate fi tolerată din cauza neglijenței.

5. Găsiți numărul de puncte extremum ale funcției f (x). în intervalul [0, 20].

Vă rugăm să rețineți că aveți nevoie pentru a găsi numărul de puncte extremum (acesta este punctul de puncte maxime și minime).

punctele extremum corespund punctele de schimbare semn derivat (de la pozitiv la negativ sau vice-versa). Pe acest grafic este furnizat în zerouri. Derivata dispare la punctele de 3, 6, 16, 18.

Astfel, în intervalul [0, 20], funcția are 4 punctul extremum.

6. Găsiți intervalele de creștere a f (x). Ca răspuns, specificați cantitatea de puncte Lattice incluse în aceste intervale.

Anumite intervale în creștere funcția f (x) corespund intervalelor la care derivatul său este pozitiv, adică, intervale (3, 6) și (16; 18). Vă rugăm să rețineți că limita intervalului nu sunt incluse în ea (paranteze - limitele nu sunt incluse în intervalul, pătrat - inclus). Aceste fante cuprind puncte integrale 4, 5, 17. Suma este: 5 + 4 + 17 = 26

7. Localizați intervale scăderea funcției f (x) la un interval predeterminat. Ca răspuns, specificați cantitatea de puncte Lattice incluse în aceste intervale.

Lacunele scăderea funcției f (x) corespund intervalelor la care derivatul este negativ. În această sarcină intervale (-2, 3), (6; 16), (18, 21).

Aceste intervale includ următoarele puncte: integrali -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Suma lor este egală cu:

(-1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

+ + 12 + 11 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

* Acordați atenție următoarelor condiții: dacă frontiera în intervalul sunt incluse sau nu. În cazul în care granițele sunt activate, și luate în considerare în procesul de soluționare a acestor intervale de limite, de asemenea, trebuie să fie luate în considerare.

8. Identificarea creșterea decalajelor funcției f (x). În răspunsul dvs., lungimea cea mai lungă dintre ele.

Lacunele în creștere funcția f (x) corespund intervalelor la care derivata funcției este pozitiv. Noi le-am menționat deja: (3, 6) și (16, 18). Cel mai mare dintre acestea este intervalul (3, 6), lungimea sa este egală cu 3.

9. Găsiți scăderea intervalelor funcției f (x). În răspunsul dvs., lungimea cea mai lungă dintre ele.

Lacunele scăderea funcției f (x) corespund intervalelor la care derivatul este negativ. Am arătat deja lor acest interval (-2, 3), (6; 16), (18, 21) a lungimii lor sunt respectiv egale cu 5, 10, 3.

Lungimea maximă este egală cu 10.

10. Găsiți numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f (x) este paralelă cu linia y = 2x + 3 sau coincide cu ea.

Valoarea derivatului de la punctul de contact este egal cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă cu linia y = 2x + 3 sau coincide cu ea, coeficienții unghiulare sunt egali cu 2. Prin urmare, este necesar să se găsească numărul de puncte în care y „(x0) = 2. Geometric, aceasta corespunde cu numărul punctelor de intersecție ale graficului derivatului cu o linie y dreaptă = 2. La acest interval de 4 puncte.

11. Găsiți punctul extremum al funcției f (x). aparținând intervalului [0, 5].

Funcția Punctul extremelor este un punct în care derivatul său dispare în ce moment, în imediata apropiere a derivatului modificări semnul (de la pozitiv la negativ sau vice-versa). In intervalul [0; 5] grafic derivat traversează axa x, modificările derivate semn de la negativ la pozitiv. În consecință, punctul x = 3 este un extremum.

12. Găsiți absciselor punctelor în care tangenta la graficul y = f (x) paralelă cu abscisa sau să coincidă cu ea. În răspunsul dvs., cea mai mare dintre ele.

linii tangente y = f (x) poate fi paralelă cu abscisa sau coincid cu acestea numai în punctele în care derivatul este zero (acest lucru poate fi un punct sau punct extremum staționare, în jurul căreia derivatul nu schimbă semnul său). Prin acest grafic se vede că derivatul este zero, la punctele de 3, 6, 16,18. Cea mai mare este de 18.

Puteți construi argumentul astfel:

Valoarea derivatului de la punctul de contact este egal cu panta tangentei. Deoarece tangenta este paralelă cu axa x sau coincide cu ea, panta este egal cu 0 (unghi tangent efectivă de zero grade este zero). Prin urmare, căutăm punctul în care panta este zero și deci derivatul este zero. Derivatul este zero în punctul în care intersectează graficul axa x, iar punctele de 3, 6, 16,18.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-8, 4). La un moment dat, în intervalul [-7 -3], funcția f (x) are cea mai mică valoare.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-7; 14). Găsiți numărul de puncte al funcției maxime f (x). intervalul [-6, 9].

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-18, 6). Găsiți numărul de puncte minime ale funcției f (x). intervalul [-13, 1].

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-11, -11). Găsiți numărul de puncte extremum ale funcției f (x). intervalul [-10; -10].

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-7; 4). Găsiți intervalele de creștere a f (x). Ca răspuns, specificați cantitatea de puncte Lattice incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-5, 7). Găsiți scăderea intervalelor funcției f (x). Ca răspuns, specificați cantitatea de puncte Lattice incluse în aceste intervale.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-11, 3). Găsiți intervalele de creștere a f (x). În răspunsul dvs., lungimea cea mai lungă dintre ele.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-2, 12). Găsiți scăderea intervalelor funcției f (x). În răspunsul dvs., lungimea cea mai lungă dintre ele.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-10, 2). Găsiți numărul de puncte la care tangenta la graficul funcției f (x) este paralelă cu linia y = -2x - 11 sau coincide cu ea.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). definită pe intervalul (-4, 8). Găsiți punctul extremum lui f (x). aparținând intervalului [-2, 6].

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). Găsiți abscisa punctul în care tangenta la graficul y = f (x) este paralelă cu linia y = 2x - 2 sau coincide cu ea.

Figura prezintă un grafic al y = f „(x) - derivat de f (x). Găsiți abscisa punctul în care tangenta la graficul (x) paralel y = f pe axa X sau coincide cu ea.

Asta e tot. În această categorie, vom continua să ia în considerare problema, nu pierdeți.

Condiția problemei este aceeași (pe care am luat în considerare). Găsiți suma de trei numere:

1. Suma pătratelor extremele funcției f (x).

2. Diferența dintre suma pătratelor punctelor maxime și punctele minime ale funcției suma f (x).

3. Numărul de tangentele la f (x) paralelă cu linia dreaptă y = -3H- + 5.

Cu stimă, Alexander Krutitsy.