Teoria probabilității elementare

Teoria probabilităților studiază legile care apar în experimente aleatoare. experiment aleator este numit, ceea ce este imposibil de prezis rezultatul în avans. Incapacitatea de a prezice rezultatele diferă de fenomen aleatoriu determinist.

Nu toate evenimentele aleatorii (experimente) pot fi studiate prin metodele teoriei probabilității, ci numai acelea care pot fi reproduse în aceleași condiții. Aleatoriu și haos # 151; nu același lucru. Se pare că, în experimentele aleatorii există unele legi, cum ar fi proprietatea „durabilitatea statistică“. dacă # 151; un eveniment care poate sau nu poate să apară ca rezultat al experimentului, proporția de experimente în care a avut loc evenimentul, tinde să se stabilizeze odată cu creșterea numărului total de experimentale se apropie de un anumit număr. Acest număr este obiectivul caracteristic „gradul de oportunitate“, un eveniment să aibă loc.

Rețineți că facem matematică, și nu se ocupă cu realitatea, ci numai cu modelul său matematic. Vom studia doar modelele matematice și aplicarea lor la realitatea lăsată la statisticile matematice și practice.

Determinarea 1.Prostranstvom evenimente elementare ( „omega“) este un set care conține toate rezultatele posibile ale experimentului aleator, în experimentul de care este exact una. Elementele acestui set se numește evenimentele elementare și notate cu litera ( „Omega“).

Determinarea 2.Sobytiyami noi numim subseturi. Se spune că, ca urmare a experimentului a existat un eveniment, dacă a existat un experiment de rezultate elementare incluse în set.

Notă 2. În general, este posibil să se numească evenimentele nu sunt neapărat subseturi de, dar numai un anumit set de elemente de subseturi. În sensul acestei limitări, vom vorbi mai târziu.

Exemplul 1. O dată este aruncat zaruri # 151; zaruri. Luați în considerare spațiul de evenimente elementare, rezultatele elementare aici reprezintă numărul de puncte a scăzut.

Exemple de evenimente: # 151; a scăzut unul sau două puncte; # 151; Acesta a scăzut la un număr impar de puncte.

Exemplul 2: dice De două ori este aruncată. Sau ce este același lucru, odată aruncat în cele două zaruri. Presupunem spațiu evenimente elementare pluralitate de perechi de numere, în cazul în care (sotvetstvenno,) reprezintă numărul de puncte care a căzut pe primul (a doua) arunca :.

Exemple de evenimente:
# 151; prima tragerea la sorti a scăzut cu un punct;
# 151; A scăzut la a doua un punct tragerii;
# 151; pe oasele au scăzut același număr de puncte;
# 151; a căzut pe cele două zaruri este un număr impar de puncte.

Exemplul 3. în moneda lovește suprafața mesei. Rezultatul experimentului poate fi considerată ca fiind centrul de coordonate al monedei. Spatiul rezultatelor elementare # 151; mai multe puncte de masă. Dacă nu suntem indiferenți față de unghiul de rotație a monedei, este posibil să se adauge la poziția stabilită de valoarea centrală a acestui unghi. În acest caz, există mai multe cupluri în cazul în care # 151; tabel și punctul # 151; unghiul de rotație. Numărul de rezultate elementare ale unui astfel de experiment nenumărat.

Exemplul 4. Moneda este aruncat până la până la rulată creastă. spațiu Rezultatul constă dintr-un număr infinit, dar numărabilă rezultatelor: în care p este cozi de pierdere și r # 151; Emblemă la o tragere la sorți.

1. Precizia se numește un eveniment care apare în mod necesar, ca rezultat al experimentului, adică, singurul eveniment care include toate rezultatele elementare # 151; eveniment.

2. numitul eveniment imposibil care pot să apară ca rezultat al experimentului, adică, eveniment care conține nici un rezultat elementar ( „set de gol“). Rețineți că întotdeauna.

În teoria probabilitatilor, sunt exact aceleași operații pe seturi ca în teoria mulțimilor.

1. Asociația de evenimente și numit evenimentul care constă în faptul că nu a existat nici, una sau ambele evenimente în același timp. În limbajul teoriei este un set care conține ambele rezultate elementare ale multor elementare și rezultatele din setul.

2. Intersecția evenimentelor este numit un eveniment, care constă în faptul că ambele evenimente au avut loc simultan. există un set care conține rezultatele de bază în limba de teoria mulțimilor, membrii seturi și intersecție.

3. Opusul (sau complementar) la eveniment este numit eveniment, care constă în faptul că evenimentul în urma experimentului nu sa întâmplat. Ie set este format din evenimente elementare din afara UE.

4. Supliment la eveniment este numit evenimentul care constă în faptul că a avut loc un eveniment, dar nu sa întâmplat. Ie set conține rezultate elementare incluse în setul, dar nu și în.

1. Evenimente și numit inconsistente. în cazul în care.

2. Evenimentele se numesc reciproc incompatibile. dacă este cazul, în cazul în care evenimentele și inconsistente.

3. Se spune că evenimentul atrage un eveniment și să scrie, dacă vreodată, de îndată ce apare un eveniment și evenimentul. În limbajul teoria mulțimilor, acest lucru înseamnă că orice rezultat elementar, inclusă în setul, ambele incluse în set, și anume, este conținut în.

spațiu evenimente elementare va fi numit discret. dacă este finită sau numărabilă:

Astfel, experimentele din exemplele 1. 2 și 4 (dar nu 3) conduc la spațiile discrete evenimente elementare.

O pluralitate de numărabil. în cazul în care există o corespondență unu-la-unu între set și mulțimea tuturor numerelor naturale. Manipulatives seturi sunt, de exemplu, setul de numere naturale, setul de numere întregi, setul de numere raționale, setul de numere chiar, etc. O pluralitate desigur, în cazul în care este format dintr-un număr finit de elemente.

Pentru a determina probabilitatea oricărui eveniment în spațiul discret de evenimente elementare, pur și simplu atribuie probabilitatea fiecărui rezultat elementar. Apoi, probabilitatea oricărui eveniment este definit ca suma probabilităților de evenimente elementare care au loc în ea.

Definiția 6. Am pus fiecare rezultat elementar în număr de linie, astfel încât

Noi numim numărul de probabilitate rezultat elementar. probabilitatea de eveniment va apela numărul de

egală cu suma probabilităților de evenimente elementare incluse în setul. Dacă ne-am stabilit.

Nota 4. Ulterior, după ce să se familiarizeze cu axiomele teoriei probabilității, definim probabilitatea evenimentului în sine, mai degrabă decât în ​​termeni de probabilități de evenimente elementare. Mai mult decât atât, că prin adăugarea unei probabilități a evenimentului pot fi obținute de probabilități elementare ale rezultatelor, constând din mai mult de un număr numărabil de evenimente elementare (altfel conceptul de însumare în sine nu este definit). Dar, în spațiul discret al rezultatelor elementare pentru a determina probabilitățile de evenimente în așa fel cum se face în definiția 6. întotdeauna posibil.

Am lista evident în cazul proprietăților spațiului de probabilitate discret, pe care o vom dovedi în curând dreptul, în general.

2. Dacă sunt incompatibile, atunci;

3. În cazul general;

Exercitarea 8. proprietăți 1 Dovedeste # 151; 4, 6, folosind definiția.

Luați în considerare cazul particular al acestei probabilități # 151; așa-numita „probabilitate clasică.“

Să presupunem că avem de-a face cu spațiul de evenimente elementare, constând dintr-un număr finit de elemente :. Să presupunem că din orice motive putem considera elementare rezultate la fel de posibile. Apoi, probabilitatea de oricare dintre ele trebuie să fie egală. Aceste considerații nu sunt relevante pentru modelul matematic și bazat pe o anumită simetrie în experiment (moneda simetrică, se amestecă bine punte de cărți, osul corect).

În cazul în care evenimentul este format din evenimente elementare, probabilitatea acestui eveniment este raportul dintre:

unde simbolul reprezintă numărul de elemente ale unui set finit.

Definiția 7. Spunem că experimentul satisface definiția clasică a probabilității. în cazul în care spațiul de evenimente elementare constă dintr-un număr finit de rezultate la fel de posibile. În acest caz, probabilitatea oricărui eveniment este calculată conform formulei

numita definiție clasică a probabilității.

Formula „se spune: Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate favorabile evenimentului, numărul total de rezultate.“ Este util să se compare cu definiția clasică a frazei Jakob Bernoulli (1). „Probabilitatea este gradul de fiabilitate și diferă de la ea, ca parte a întregului» (Ars Conjectandi, 1713)

Acum vedem că calculul probabilităților în schema clasică se reduce pentru a introduce Calculați numărul total de „șanse“ și numărul de șanse favorabile la un eveniment. Numărul de șanse de a lua în considerare utilizarea combinatorica formule.

Luați în considerare descrise la punctul 1 schema urnă. Trei scheme: Intoarcerea și având în vedere ordinea, și fără a lua în considerare întoarcerea de ordine, precum și fără înlocuire și fără a ține cont de ordinea, corespund definiției clasice de probabilitate. Numărul total de evenimente elementare din aceste scheme este estimat în Teoremele 3 și 4. 2. egale, respectiv ,. Al patrulea sistem este # 151; selectarea de retur a circuitului și fără a ține cont de ordinea # 151; Ea are în mod evident neravnovozmozhnye rezultate.

EXEMPLUL 5 Să considerăm o alegere a două bile de două, sau ceea ce este același lucru, de două ori clapa moneda. Având în vedere ordinea, atunci rezultatul va fi de patru, și toate sunt la fel de posibil, și anume au o probabilitate de 1/4:

În cazul în care comanda nu ia în considerare, este necesar să se anunțe rezultatul ultimele două cu același rezultat al experimentului, și nu obține patru, dar trei rezultate:

Primele două rezultate au probabilitate 1/4, iar ultimul # 151; probabilitate de 1/4 + 1/4 = 1/2.

Exercitarea 9. Se calculează numărul de evenimente elementare din Exemplul 2 (pentru aruncarea două zaruri). Cum va spatiul de evenimente elementare, în cazul în care ordinea nu ține cont de os? Contoriza numărul de evenimente elementare într-un astfel de spațiu (folosind Teorema 5 sau prin numărarea directă). Asigurați-vă că există exact. dacă aceste rezultate sunt la fel de probabil? Se calculează probabilitatea de fiecare.

Exemplul 6. Din cutiile în care bile albe și negre, la întâmplare și îndepărtate fără înlocuirea bile. Termenul „aleatoriu“ înseamnă că apariția oricărui set de bile la fel de probabile. Găsiți probabilitatea că vor fi selectate bile albe și negre.

Decizie. Sau când probabilitatea cerută este zero, deoarece evenimentul corespunzător imposibil. Să.

Rezultatul experimentului este un set de bile. Nu puteți ignora sau de a lua în considerare ordinea de bile, probabilitatea nu depinde de metoda de calcul.

Alegerea fără a ține cont de a comanda. Numărul total de evenimente elementare este numărul de subseturi -Element ale setului format din elemente: (Teorema 3).

Notăm de eveniment, probabilitatea ca doriți să găsiți. Aceasta favorizează apariția oricărui eveniment set cuprinzând bile albe și negre. Numărul de succese este egal cu produsul (teorema 1) numărul de moduri de a selecta bile albe și numărul de metode de a alege bile negre, adică . probabilitatea eveniment este

Alegerea în vederea comenzii. Numărul total de evenimente elementare este numărul de modalități de a plasa elementele de pe teren: Teorema 2.

Atunci când numărarea numărului de rezultate favorabile este necesar să se ia în considerare o serie de moduri de a alege bilele alb-negru și numărul de moduri de a aranja aceste bile printre. Puteți, de exemplu, numărul de numărul de moduri de a alege locuri în rândul (egal), atunci numărul de moduri de a plasa pe aceste locuri bile albe (egal cu), și apoi numărul de moduri de a plasa pe zonele rămase de bile negre (egale). Multiplicarea (de ce?) Aceste numere, obținem

În problema luate în considerare, am comparat fiecare set de bile albe și negre probabilitatea de a obține acest set atunci când aleg bile dintr-o urnă care conține bile albe și negre.

8. Determinarea corespondenței între numărul și probabilitatea

(În cazul în care este faptul că, u) se numește distribuția hipergeometrică.

Aici suntem în primul rând, dar nu în ultimul rând întâlnit cu termenul „distribuția“ de probabilitate. Acest cuvânt înseamnă întotdeauna un anumit mod de a partaja (distribui) probabilitatea totală de identitate între orice puncte sau seturi de pe linia reală.

Unitatea de distribuție hipergeometrica probabil distribuit între numere întregi potrivite uniform. Fiecare întreg este o probabilitate corespunzătoare. Pe linia reală poate fi o singură probabilitate de răspândire în diferite moduri. Această distribuție este diferită una de alta: faptul pe care setul de numere „alocat“ probabilitatea totală a identității, și în care greutățile sau probabilități atribuite puncte individuale sau părți ale setului.

Exercitarea 10. Pentru a înțelege ultimul paragraf.