grafice Euler
1. Să presupunem că în grafic are un vârf cu grad impar. Luați în considerare turul Euler a graficului. Rețineți că, în cazul în care intră în partea de sus și la ieșirea din ea am reduce la nivelul doi (marcăm trecut deja coaste), în cazul în care vârful nu este acasă (este final pentru ciclul). Pentru a începe (sfârșitul) din vârful vom reduce la un grad în care începe ciclul de by-pass Euler, și unul la sfârșitul anului. În consecință nodurile cu grad ciudat nu poate fi. Presupunerea noastră este falsă.
2. Dacă graficul are mai mult de o componentă conectată la coaste, este evident că nu putem trece pe marginile lor de unul.
calea Euler nr.
Numărul de noduri de grad impar mai mare de două.
Cele două componente sunt conectate, are o nervură.
Nevoia ne-am arătat mai înainte. Să demonstrăm suficiența, folosind inducție pe numărul de noduri.
există ciclu de inducție de bază.
Presupunem că graficul cu noduri conține mai puțin ciclu Eulerian.
Luați în considerare un grafic conectat cu vârfuri ale căror grade sunt chiar.
Să - noduri. Deoarece graficul este conectat, există o cale de ieșire a. Gradul - chiar, înseamnă că există o muchie neutilizată pe care drumul merge de la. Pe măsură ce numărul final, calea, în cele din urmă, trebuie să se întoarcă, așa vom obține un traseu închis (ciclu). Noi numim acest ciclu. Vom continua să construim prin același mod, atâta timp cât încă o dată, nu poate veni din partea de sus, care este, va acoperi toate incidentul marginile. În cazul în care este un ciclu Euler pentru, atunci am terminat. Dacă nu, atunci să - subgrafic obținut prin eliminarea tuturor muchiilor care aparțin. Deoarece conține un număr par de muchii care sunt incidente în fiecare nod, vârful fiecărui subgrafic are grad chotnuyu. Și, din moment ce acoperă toate muchiile incidente, atunci graficul va fi compus din mai multe componente conectate.
Luați în considerare o componentă conectată. Deoarece această componentă conectată este mai mică de noduri și fiecare grad nod chotnaya, atunci fiecare componentă conectată există ciclu Eulerian. Să presupunem că, pentru componentele considerate svyaznoti acest ciclu. Avem un nod comun și, ca de telecomunicații. Acum puteți obține în jurul valorii de Euler tur, începând de la partea de sus a lui, pentru a obține în jur. a reveni la, și apoi du-te înapoi. În cazul în care noul ciclu Euler nu este un ciclu Euler pentru a continua să utilizeze acest proces, extinderea ciclului nostru Euler până când, în cele din urmă, vom obține ciclul Euler.
În câmpul există o cale Euler, dacă și numai dacă:
1. Numărul de vârfuri cu un grad impar mai mic sau egal cu doi.
2. Toate componentele conectate cu excepția, probabil, unul, nu includ coaste.
Adăugați conectarea margine vârfuri cu un grad impar. Puteți găsi acum un ciclu Euler, apoi îndepărtați marginea adăugată. Evident, găsit de ciclu devine.