Produsul scalar a doi vectori
Interpretarea geometrică. Produsul scalar a doi vectori a și b este o valoare scalară egală cu produsul dintre modulii acestor vectori, înmulțită cu cosinusul unghiului dintre ele:
a · b = | o | · | b | cos α
Interpretarea algebrice. Produsul scalar a doi vectori a și b este un scalar egal cu suma produselor vectorilor coordonatelor pereche a și b.
produs scalar Formula coordonatelor vectorilor definiți
Formula produsului scalar al vectorilor pentru problemele plane
În cazul produsului scalar al problemei vectorilor plane a =
Formula produsului scalar al vectorilor pentru sarcini spațiale
În cazul produsului scalar al problemei spațiale a =
Formula produsului interior n vectori -dimensionale
În cazul spațiului n-dimensional produsul scalar al vectorilor a = și b = pot fi găsite folosind următoarea formulă:
Proprietățile produsului scalar al vectorilor
Produsul scalar al unui vector cu sine este întotdeauna mai mare sau egal cu zero:
Produsul scalar al vectorului cu sine este egal cu zero, dacă și numai dacă vectorul este vectorul de zero:
a · a = 0 <=> a = 0
Produsul scalar al unui vector cu sine este egală cu pătratul modulului său:
Operația de înmulțire scalară comunicare:
În cazul în care produsul scalar a doi vectori nu este zero este zero, atunci acești vectori sunt ortogonale:
a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b
(Α a) · b = α (a · b)
Operația de înmulțire scalară este distributivă:
(A + b) · c = a · c + b · c
Exemple de obiective pentru calculul produsului scalar al vectorilor
Exemple de calcul al produsului scalar al vectorilor pentru problemele plane
Exemplul 1. Găsiți produsul scalar al vectorilor și a = b =.
Soluție: a · b = 1 x 4 + 2 x = 4 + 8 16 = 20.
Exemplul 2. Găsiți produsul interior al vectorilor a și b. în cazul în care lungimea lor | o | = 3, | b | = 6, iar unghiul dintre vectori este 60˚.
Solutia: a · b = | o | · | b | cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.
Exemplul 3. Găsiți produsul scalar al vectorilor p = a + b 3 și q = 5 a - 3 b. în cazul în care lungimea lor | o | = 3, | b | = 2, iar unghiul dintre vectorii a și b este egal cu 60˚.
p · q = (a + 3 b) · (5a - 3 b) = 5a · a - 3 a · b + 15 b · a - 9 b · b =
= 5 | o | 2 + 12, a · b - 9 | b | 2 5 = 3 · 2 + 3 · 12 · 2 · cos 60˚ - 9 · 2 = 45 2 +36 -36 = 45.
Exemplu de calcul al produsului scalar al vectorilor pentru probleme spațiale
Exemplul 4. Găsiți produsul scalar al vectorilor și a = b =.
Soluție: a · b = 1 x 4 + 2 + 8 · (5) · 1 + 4 = 16 - 5 = 15.
Un exemplu de calcul al produsului scalar pentru n vectori -dimensionale
Exemplul 5. Găsiți produsul scalar al vectorilor și a = b =.
Soluție: a · b = 1 x 4 + 2 + 8 · (5) · 2 · 1 + (-2) = 4 + 16-5 = 11 -4.